Sejarah Bilangan Real

Untuk memotivasi pembelajaran bilangan real dapat diceritakan secara singkat sejarah bilangan sebagai berikut.

Bilangan selalu muncul akibat kebutuhan manusia. Bilangan yang pertama kali dikenal adalah bilangan asli. Bilangan ini muncul akibat kebutuhan manusia untuk menghitung. Kemudian muncul bilangan nol, suatu bilangan yang menyatakan kekosongan. Maka dikenalkan bilangan cacah. Setelah operasi hitung dikenal, muncul bilangan negatif untuk mengatasi kebutuhan akan hasil pengurangan dua bilangan asli yang bilangan pertama lebih kecil dari bilangan kedua, maka dikenalkan bilangan bulat. Kemudian untuk mengatasi masalah pembagian dua bilangan yang hasilnya bukan bilangan bulat, diperlukan bilangan rasional. Sedangkan bilangan irasional muncul karena adanya operasi pangkat dua, ketika ternyata diketahui bahwa tidak selalu ada bilangan rasional yang memenuhi a² = b. Gabungan Bilangan Rasional dan Irasional kemudian disebut bilangan Real. Sekitar abad 16, para ahli matematika mulai menggunakan bilangan yang memiliki akar negatif, contohnya  dan sebagainya. Maka muncullah himpunan bilangan imajiner. Selanjutnya, bilangan yang terbentuk dari bilangan real dan bilangan imajiner disebut bilangan kompleks.

B.     Macam-macam Bilangan

Berikut ini ringkasan materi mengenai himpunan-himpunan bilangan. 

1.        Bilangan asli/Natural Numbers

Bilangan asli adalah yang digunakan untuk  menghitung. Karena dalam menghitung kita memulai dengan 1, maka himpunan bilangan asli juga dimulai dari 1, 2, 3, 4,….dan seterusnya.

Simbol yang sering digunakan untuk himpunan bilangan asli adalah A atau N.

Bilangan asli dibagi menjadi 2 kelompok yaitu bilangan genap dan bilangan ganjil. Bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2, sedangkan bilangan ganjil tidak habis dibagi 2.

Himpunan bilangan genap adalah G= { 2, 4, 6, 8,……………}

Himpunan bilangan ganjil adalah J = {1, 3, 5, 7, ………….}

Setiap bilangan asli yang lebih dari 1 dapat dikelompokkan menjadi bilangan prima atau bilangan komposit/tersusun. Sedangkan 1 tidak termasuk keduanya, 1 adalah unit/satuan. Untuk menentukan bilangan prima yang tidak terlalu besar dapat digunakan metode Saringan Erastothenes.

Teorema dasar aritmetika menyatakan bahwa setiap bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai hasilkali bilangan-bilangan prima. Misalnya  300 dapat dinyatakan dengan 2².3.5². Ini disebut  juga faktorisasi prima dari 300.

2.     Bilangan Cacah/Whole Numbers

 Bilangan cacah adalah semua bilangan asli ditambah dengan 0. Simbol bilangan cacah adalah C.

3.      Bilangan bulat/Integers

Bilangan bulat adalah semua bilangan cacah ditambah dengan bilangan bulat negatif. 

4.      Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah bilangan bulat dan q ¹ 0. Simbol bilangan rasional adalah Q.

Jika p habis dibagi q maka bilangan itu adalah bilangan bulat (pecahan palsu), jika tidak maka berupa pecahan. Ada 4 macam pecahan yaitu pecahan sejati, pecahan campuran, pecahan palsu dan pecahan desimal. Bilangan rasional yang dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal dapat berupa desimal terbatas dan desimal tak terbatas berulang

5.      Bilangan irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah bilangan bulat dan q ¹ 0.

Bilangan irasional dikenal sejak sekitar 600 SM di Yunani, ketika orang berusaha mencari solusi dari rumus Pythagoras a²+b²=c² untuk a=1 dan b=1 ternyata tidak ada bilangan rasional yang tepat untuk c, karena tidak ada bilangan rasional yang jika dikalikan dengan dirinya sendiri hasilnya 2.

Ketika dinyatakan dalam desimal,  bilangan irasional adalah desimal yang tak terbatas dan tak berulang. Contoh bilangan Irasional yang menarik adalah p yaitu bilangan yang didapat dari perbandingan antara keliling dan luas lingkaran.

6.        Bilangan Real/Bilangan Nyata

Bilangan real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan Irasional. Simbol bilangan real adalah R.

Operasi hitung pada bilangan real meliputi antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, penarikan akar, dan logaritma.

Sifat tertutup (closure): Jika dilakukan operasi tertentu pada 2 anggota suatu himpunan bilangan dan hasilnya adalah bilangan yang merupakan anggota himpunan bilangan itu maka dikatakan himpunan itu tertutup dalam operasi  tersebut.

Contoh:

Dalam himpunan bilangan asli. Operasi penjumlahan bersifat tertutup, tetapi operasi pengurangan tidak, karena 5–7 = -2, dan –2 bukanlah anggota bilangan asli.

Sifat-sifat operasi pada bilangan real diperlihatkan pada tabel berikut.

Untuk a, b, c Î R berlaku:

a.    Sifat komutatif pada penjumlahan: a + b = b + a

b.    Sifat komutatif pada perkalian: a x b = b x a

c.     Sifat asosiatif pada penjumlahan:  (a + b) + c = a + (b + c)

d.    Sifat asosiatif pada perkalian:  (a x b) x c = a x (b x c)

e.     Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan: ax(b+c)=(axb)+(axc).

Identitas pada penjumlahan adalah 0 sedangkan identitas pada perkalian adalah 1.

Invers  penjumlahan adalah lawannya, misalnya invers a adalah –a.

Invers  perkalian adalah kebalikannya, misalnya invers a adalah 1/a

7.        Bilangan imajiner

Kata “imajiner” digunakan untuk menggambarkan bilangan seperti  Unit imajiner (disimbolkan i) didefinisikan sebagai berikut: i =  dan i² = -1. Selanjutnya didefinisikan akar dari bilangan negatif sebagai berikut: jika a > 0,  =

8.        Bilangan kompleks

Setiap bilangan yang berbentuk a+bi, dimana a dan b adalah bilangan real dan i adalah unit imajiner, disebut bilangan kompleks.

Contohnya 4i, 3+2i, 2–i, 7 dan 0.

Pada a+bi, a di sebut bagian real, dan b disebut bagian imajiner. Jika b ≠ 0, maka bilangan tersebut disebut bilangan imajiner.

Pada bilangan imajiner, a+bi, jika a = 0, maka disebut bilangan imajiner murni. Contohnya 3i, -i, i dan sebagainya.

Dua bilangan kompleks a+bi dan c+di dikatakan sama, jika dan hanya jika a=c dan b=d.