Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada
beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno,
zaman pertengahan,
dan zaman modern.
Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah
muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus
integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow
Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir
menghitung volume dari frustrum piramid[1]. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih
jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2]
Pada zaman pertengahan, matematikawan India,
Aryabhata,
menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499
dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan
diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II
pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat
kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000,
matematikawan Irak Ibn al-Haytham
(Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah
pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika,
dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat
integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.[5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf
al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam
kalkulus diferensial. [6] Pada abad ke-14, Madhava,
bersama dengan matematikawan-astronom dari Mazhab astronomi dan matematika Kerala,
menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[8][9][10]
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi
pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa.
Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis
dan Isaac Barrow
memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory
membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus
pada tahun 1668.
Gottfried Wilhelm
Leibniz pada awalnya
dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,
namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya
dilakukan secara terpisah.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama
sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai
penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton
mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus
yang banyak digunakan sekarang.
Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil
mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang
mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton
menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali
mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari
catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton
kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa
keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan
Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan
dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan
nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton
menamakannya "The science of fluxions".
Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan
kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA
dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan
kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.[11]
Pengaruh
penting
Walau beberapa konsep kalkulus telah
dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia,
dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa
pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm
Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka
kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus diferensial meliputi
perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan
suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi
perhitungan luas, volume, panjang busur,
pusat massa,
kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan
pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama
berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang
meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga.
Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi,
terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil
memecahkan paradoks tersebut.
Prinsip-prinsip
Limit dan kecil tak terhingga
Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan
memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat
diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Setiap perkalian dengan kecil
takterhingga (infinitesimal) tetaplah kecil takterhingga, dengan kata lain
kecil takterhingga tidak memenuhi properti
Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan
teknik untuk memanipulasi kecil takterhingga.
Pada abad ke-19, konsep kecil takterhingga
digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai
suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari
sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit
tertentu.
Turunan
Garis singgung pada (x, f(x)).
Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah
kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.
Kalkulus diferensial adalah ilmu yang
mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan
dari sebuah grafik.
Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan
rumit daripada konsep yang ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid
mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan output sebuah angka.
Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah sebuah
fungsi.
Untuk memahami turunan, seorang murid harus
mempelajari notasi matematika. Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang
umumnya dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi.
Maka turunan dari f adalah f'.
.
Jika
input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju
perubahan di mana fungsi tersebut berubah.
Jika
fungsi tersebut adalah fungsi linear,
maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:
.
Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis
lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah garis lurus, maka perubahan y dibagi
terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus
untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu fungsi dapat
diekspresikan:
di
mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x))
dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.
Untuk
menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:
Sebagai
contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2
pada titik (3,9):
Integral
Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan
aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral taktentu dan integral
tertentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan
(integration). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator
linear yang saling berhubungan.
Integral taktentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah
integral taktentu dari f ketika f adalah turunan dari F.
Integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah
angka, yang mana memberikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x.
Contohnya
adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu
Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan
bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan
sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode tersebut adalah
memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak interval
waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan
salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total
keseluruhan jarak yang didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu
sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak.
Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan nilai perkiraan. Kita harus
mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang tepat.
Integral
dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x),
antara dua titik a dan b.
Jika
f(x) pada diagram di samping mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak
yang ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang
diarsir.
Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah
dengan membagi jarak antar a dan b menjadi beberapa segmen yang
sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan Δx. Untuk setiap segmel,
kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai tersebut
misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar Δx
dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut.
Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan
jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil
akan memberikan perkiraan yang lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat
ketika kita menngambil limit Δx mendekati nol.
Simbol
dari integral adalah , berupa S
yang dipanjangkan (singkatan dari "sum"). Integral tertentu ditulis
sebagai
dan
dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x."
Integral
tak tentu, atau anti derivatif, ditulis:
.
Oleh
karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y
' = 2x (di mana C adalah konstanta),
.
Teorema dasar
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan
dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema
ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena
lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan definisi
dari integral, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam
menghitung integral tertentu.
Teorema dasar kalkulus menyatakan: Jika sebuah
fungsi f adalah kontiniu
pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana
turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
Lebih
lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),
Aplikasi
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik,
sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya.
Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus.
Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia
dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan
menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk
mencari total fluks dari
sebuah medan elektromagnetik
. Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton,
diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju
perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya
yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama. Bahkan rumus umum
dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai
turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan dengan diferensial
kalkulus.
Referesi Sumber DAFTAR
PUSTAKA
- ^ Helmer
Aslaksen. Why Calculus? National
University of Singapore. See
- ^ Archimedes, Method,
in The Works of Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
- ^ Aryabhata the Elder
- ^ Ian G.
Pearce. Bhaskaracharya II.
- ^ Victor J.
Katz (1995). "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics
Magazine 68 (3), pp. 163-174.
- ^ J. L.
Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's
Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110
(2), pp. 304-309.
- ^ Madhava. Biography of Madhava.
School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland.
Diakses pada 13 September 2006
- ^ An overview of Indian mathematics. Indian
Maths. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews,
Scotland. Diakses pada 7 Juli 2006
- ^ Science and technology in free India. Government
of Kerala — Kerala Call, September 2004. Prof.C.G.Ramachandran Nair.
Diakses pada 9 Juli 2006
- ^ Charles Whish
(1835). Transactions of the Royal Asiatic Society of Great Britain and
Ireland.
- ^ UNESCO-World Data on Education [isapi.dll?clientID=137079235&infobase=iwde.nfo&softpage=PL
frame]
Daftar
Pustaka
- Donald A. McQuarrie (2003). Mathematical
Methods for Scientists and Engineers, University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5
- James Stewart (2002). Calculus:
Early Transcendentals, 5th ed., Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39321-2
Buku Online
- Crowell, B., (2003). "Calculus"
Light and Matter, Fullerton. Retrieved 6th May 2007 from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf
- Garrett, P., (2006). "Notes
on first year calculus" University of Minnesota. Retrieved 6th
May 2007 from http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/first_year/notes.pdf
- Faraz, H., (2006). "Understanding
Calculus" Retrieved Retrieved 6th May 2007 from
Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/
(HTML only)
- Keisler, H. J., (2000). "Elementary
Calculus: An Approach Using Infinitesimals" Retrieved 6th
May 2007 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc1.pdf
- Mauch, S. (2004). "Sean's
Applied Math Book" California Institute of Technology. Retrieved
6th May 2007 from http://www.cacr.caltech.edu/~sean/applied_math.pdf
- Sloughter, Dan., (2000) "Difference
Equations to Differential Equations: An introduction to calculus".
Retrieved 6th May 2007 from http://math.furman.edu/~dcs/book/
- Stroyan, K.D., (2004). "A
brief introduction to infinitesimal calculus" University of Iowa.
Retrieved 6th May 2007 from http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm
(HTML only)
0 komentar:
Posting Komentar